母平均の検定
検定手順
1. 仮説を立てる
帰無仮説\(H_0\)、対立仮説\(H_1\)
2. 有意水準を決める
\(P(|z|≧1.96)=0.05\)、\(P(|z|≧2.58)=0.01\)
3. 棄却域を決める
4. 検定統計量を決める
5. 検定統計量をもとに結論を出す
検定統計量
１つの母平均に関する検定
母分散が未知の場合、母分散と標本分散の平均は等しくならないことから、不偏分散を用いる。不偏分散の平均は母分散と一致する。不偏分散は、(標本数-1)を除して求める。
(1) 母分散既知 ⇒ 正規分布による検定
母分散既知
\begin{align*}
&z=\frac{\overline{x}-μ}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}\\
\end{align*}
\begin{align*}
&z=\frac{\overline{x}-μ}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}\\
\end{align*}
(2) 母分散未知 ⇒ \(t\)分布による検定
母分散未知
\begin{align*}
&t=\frac{\overline{x}-μ}{\frac{U}{\sqrt{n}}}\\
&U=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\\
\end{align*}
\begin{align*}
&t=\frac{\overline{x}-μ}{\frac{U}{\sqrt{n}}}\\
&U=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\\
\end{align*}
２つの母平均の差に関する検定
(1) 母分散既知 ⇒ 正規分布による検定
母分散既知
\begin{align*}
&z=\frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}σ}～N(0,1)\\
\end{align*}
\begin{align*}
&z=\frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}σ}～N(0,1)\\
\end{align*}
(2) 母分散未知で等しい ⇒ \(t\)分布による検定
母分散未知で等しい
\begin{align*}
&t=\frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}\hat{σ}}～t(m+n-2)\\
\end{align*}
\begin{align*}
&t=\frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}\hat{σ}}～t(m+n-2)\\
\end{align*}
(2) 母分散未知で等しいと言えない ⇒ \(t\)分布による検定
母分散未知で等しいと言えない
\begin{align*}
&t=\frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\frac{\hat{σ_1^2}}{m}+\frac{\hat{σ_2^2}}{n}}}～t(m+n-2)\\
\end{align*}
\begin{align*}
&t=\frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\frac{\hat{σ_1^2}}{m}+\frac{\hat{σ_2^2}}{n}}}～t(m+n-2)\\
\end{align*}
２つの母平均の差に関する検定
(1) 母分散既知 ⇒ 正規分布による検定
(2) 母分散未知 ⇒ t分布による検定