5-5.等分散の検定

等分散の検定

等分散の検定

両側検定
\begin{align*}
&u_1^2 > u_2^2\\
&F=\frac{U_1^2}{U_2^2}・・・検定統計量\\
&f ≧ F_{n_1-1,n_2-1} (\frac{α}{2})・・・棄却域\\
\end{align*}
\begin{align*}
&u_2^2 > u_1^2\\
&F=\frac{U_2^2}{U_1^2}・・・検定統計量\\
&f ≧ F_{n_2-1,n_1-1} (\frac{α}{2})・・・棄却域\\
\end{align*}
片側検定の棄却域は、
\begin{align*}
&f ≧ F_{n_1-1,n_2-1} (α)\\
&f ≧ F_{n_2-1,n_1-1} (α)\\
\end{align*}
不偏分散
\begin{align*}
&u^2=\frac{n}{n-1}・S^2\\
\end{align*}

5-4.母平均の差の検定

母平均の差の検定

母平均の差の検定

2つの独立な正規母集団の分散が既知
\begin{align*}
&Z=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{σ_1^2}{n_1}+\frac{σ_2^2}{n_2}}}\\
\end{align*}
2つの独立な正規母集団の分散が未知
\begin{align*}
&Z=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{μ_1^2}{n_1}+\frac{μ_2^2}{n_2}}}\\
&=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1-1}+\frac{s_2^2}{n_2-1}}}\\
\end{align*}

5-2.母平均の検定

母平均の検定

検定手順

1. 仮説を立てる
帰無仮説\(H_0\)、対立仮説\(H_1\)
2. 有意水準を決める
\(P(|z|≧1.96)=0.05\)、\(P(|z|≧2.58)=0.01\)
3. 棄却域を決める
4. 検定統計量を決める
5. 検定統計量をもとに結論を出す

検定統計量

1つの母平均に関する検定

母分散が未知の場合、母分散と標本分散の平均は等しくならないことから、不偏分散を用いる。不偏分散の平均は母分散と一致する。不偏分散は、(標本数-1)を除して求める。

(1) 母分散既知 ⇒ 正規分布による検定

母分散既知
\begin{align*}
&z=\frac{\overline{x}-μ}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}\\
\end{align*}

(2) 母分散未知 ⇒ \(t\)分布による検定

母分散未知
\begin{align*}
&t=\frac{\overline{x}-μ}{\frac{U}{\sqrt{n}}}\\
&U=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\\
\end{align*}

2つの母平均の差に関する検定

(1) 母分散既知 ⇒ 正規分布による検定

母分散既知
\begin{align*}
&z=\frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}σ}~N(0,1)\\
\end{align*}

(2) 母分散未知で等しい ⇒ \(t\)分布による検定

母分散未知で等しい
\begin{align*}
&t=\frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}\hat{σ}}~t(m+n-2)\\
\end{align*}

(2) 母分散未知で等しいと言えない ⇒ \(t\)分布による検定

母分散未知で等しいと言えない
\begin{align*}
&t=\frac{\overline{x}-\overline{y}}{\sqrt{\frac{\hat{σ_1^2}}{m}+\frac{\hat{σ_2^2}}{n}}}~t(m+n-2)\\
\end{align*}

2つの母平均の差に関する検定

(1) 母分散既知 ⇒ 正規分布による検定
(2) 母分散未知 ⇒ t分布による検定

5-1.検定の手順

検定の手順

[1] 帰無仮説と対立仮説

 確率をもとに「背理法」で結論を導く。背理法は、証明したい事象を「偽」と仮定し、それが誤りであれば、証明したい事象は正しいと結論付ける方法である。求めたいことを対立仮説(alternative hypothesis)\(=H_1\)に置き、棄却したいことを帰無仮説(null hypothesis)\(=H_0\)とする。確率が有意水準(level of significance)\(α\)より小さいとき帰無仮説を棄却(reject)する。

第1種の過誤と第2種の過誤

 検定の結果、帰無仮説が棄却され、対立仮説が選ばれた場合、この検定が間違っている可能性は、有意水準以下となる。真実は誰にも分からないため統計の知識を使って証明している以上、有意水準以下の誤差は想定内である。この結果は積極的に主張できる。本当は帰無仮説が正しいのに、対立仮説を採択してしまうことを第1種の過誤という。
 一方、検定の結果、帰無仮説を受容(accept)されることもある。この場合、十分な資料がなく、帰無仮説が棄却されなかっただけで、帰無仮説を積極的に採択することはできない。本当は対立仮説が正しいのに、帰無仮説が受容されてしまうことを第2種の過誤という。

[2] 両側検定と片側検定

 帰無仮説を\((H_0:p=0)\)、対立仮説を\((H_0:p≠0)\)した場合の検定を両側検定という。また対立仮説を\((H_0:p>0)\)または\((H_0:p<0)\)とした場合の検定を片側検定という。\((H_0:p>0)\)が上側検定、\((H_0:p<0)\)が下側検定となる。

両側検定

片側検定(上側検定)

片側検定(下側検定)

標準正規分布表

4-6.母比率の区間推定

母比率の区間推定

母比率の区間推定

成功確率\(p\)である試行を\(n\)回行う時の成功回数を\(x\)とすると、\(x\)は二項分布\(B(n,p)\)に従う。二項分布に従う確率変数\(x\)の期待値と分散は次の通りである。
$$E[x]=np$$
$$V[x]=npq=np(1-p)$$

母比率の信頼区間
$$\widehat{p}-z_{\frac{\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}} \leq p \leq \widehat{p} + z_{\frac{\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}$$

母比率の差の区間推定

母比率の差も近似的に標準正規分布に従う。

$$z=\frac{(\hat{p}_1-\hat{p}_2)-(p_1-p_2)}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}}~N(0,1)$$

4-5.母分散の区間推定

母分散の区間推定

母分散の区間推定

母分散の区間推定は、カイ二乗分布を使用する。次の統計量は自由度自由度\(n-1\)のカイ二乗分布に従う。
$$χ^2=\frac{(n-1)・S^2}{σ^2}$$

母分散の信頼区間
$$\frac{(n-1)S^2}{χ^2_\frac{α}{2}(n-1)}≦σ^2≦\frac{(n-1)S^2}{χ^2_{1-\frac{α}{2}}(n-1)}$$

母分散の比の区間推定

4-4.母平均の区間推定(母分散未知)

母平均の区間推定(母分散未知)

1標本問題

●母分散が分からない場合、標本平均\(\overline{x}\)を標本から計算し、不偏分散\(S^2\)を次の式で求める

$$S^2 = \frac{1}{n – 1} \sum_{i = 1}^n {(x_i – \overline{x})^2}$$

●自由度\(n-1\)の\(t\)分布

$$t=\frac{\overline{x}-μ}{\frac{\hat{σ}}{\sqrt{n}}}$$

●100(1-α)%信頼区間の式
$$\overline{x}-t_{\frac{σ}{2}}(n-1)・\frac{σ}{\sqrt{n}}≦μ≦\overline{x}+t_{\frac{σ}{2}}(n-1)・\frac{σ}{\sqrt{n}}$$
※1.96の部分を、\(t\)分布のパーセント点から探し、差し替える。
※\(t\)分布のパーセント点から、\(n\)が大きいほど1.96に近づくことがわかる。

2標本問題

母分散が未知で等しい場合

$$t=\frac{d-δ}{\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}\hat{σ}}~t(m+n-2)$$
プールした分散(併合した分散)
$$\hat{σ}^2=\frac{\sum {(x_i – \overline{x})^2}+\sum {(y_i – \overline{y})^2}}{m+n-2}$$